Đáp án : D

a: Tọa độ trọng tâm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+3+5}{3}=3\\y=\dfrac{1+5-1}{3}=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

b: \(\overrightarrow{BC}=\left(2;-6\right)\)

\(\overrightarrow{AD}=\left(x-1;y-1\right)\)

Để BC//AD và BC=2AD thì 2=2(x-1) và -6=2(y-1)

=>x-1=1 và y-1=-3

=>x=2 và y=-2

ĐÁP ÁN: C

n

Gọi M là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\)

Có \(\overrightarrow{AG}=\left(0;-3\right);\overrightarrow{AM}=\left(x_M-2;y_M-3\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M-2=0\\y_M-3=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=2\\y_M=0\end{matrix}\right.\Rightarrow M\left(2;0\right)\)

\(\overrightarrow{AH}=\left(-1;-2\right)\Rightarrow u_{BC}=\left(1;2\right)\\ BC:1.\left(x-2\right)+2.\left(y-0\right)\\ BC:x+2y-2=0\)

Gọi điểm B có tọa độ theo tham số t, tìm điểm C theo tham số t thông qua điểm M. 

Có: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0\)

Giải phương trình tìm ra t.

Từ đó suy ra tọa độ điểm B và C

a.

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (3;2) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(3\left(x-2\right)+2\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow3x+2y-12=0\)

b.

Gọi G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

(C) tiếp xúc BC \(\Leftrightarrow d\left(G;BC\right)=R\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{\left|3.\dfrac{7}{3}+2.\dfrac{4}{3}-12\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\dfrac{7\sqrt{13}}{39}\)

Phương trình: \(\left(x-\dfrac{7}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{49}{117}\)